Question

19．已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，（2b-c）cosA-acosC=0
（1）求角A的大小；
（2）求函数y=2$\sqrt{3}$sinB+2sin（C-$\frac{π}{6}$）的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化简已知的等式，再利用两角和的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinB不为0，得到cosA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．
（2）由A=$\frac{π}{3}$，可得 B+C=$\frac{2π}{3}$，化简函数y等于 2sin（B+$\frac{π}{6}$），再根据B+$\frac{π}{6}$的范围求得函数的最大值．

解答 （本题满分为14分）
解：（1）将（2b-c）cosA-acosC=0，代入正弦定理得：
（2sinB-sinC）cosA=sinAcosC，
即2sinBcosA=sinCcosA+cosCsinA=sin（A+C）=sinB，
由B∈（0，180°），得到sinB≠0，
所以cosA=$\frac{1}{2}$，又A∈（0，π），
则A的度数为$\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）∵A=$\frac{π}{3}$，
∴B+C=$\frac{2π}{3}$．   …（8分）
故函数y=2$\sqrt{3}$sinB+2sin（C-$\frac{π}{6}$）=2$\sqrt{3}$sinB+2sin（$\frac{π}{2}$-B）=2$\sqrt{3}$sinB+2cosB=4sin（B+$\frac{π}{6}$）． …（11分）
∵0＜B＜$\frac{2π}{3}$，∴$\frac{π}{6}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]，…（13分）
故函数y=2$\sqrt{3}$sinB+2sin（C-$\frac{π}{6}$）的最大值为4…（14分）

点评 此题考查学生灵活运用正弦定理化简求值，灵活运用两角和的正弦函数公式及诱导公式化简求值，考查了正弦函数的图象和性质，是一道中档题．