Question

9．已知函数f（x）=$\frac{x}{|x-1|}$，g（x）=1+$\frac{x+|x|}{2}$，若f（x）＜g（x），则实数x的取值范围是（　　）

• A． （-∞，$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$）∪（$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，+∞）
• B． （-∞，$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$）∪（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，+∞）
• C． （$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）
• D． （$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，1）∪（1，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）

Answer 1

分析 由题意可得可得x≠1，$\frac{x}{|x-1|}$＜1+$\frac{x+|x|}{2}$．分类讨论，求得x的范围，综合可得结论．

解答 解：由函数f（x）=$\frac{x}{|x-1|}$，可得x≠1，由g（x）=1+$\frac{x+|x|}{2}$，且f（x）＜g（x），
可得$\frac{x}{|x-1|}$＜1+$\frac{x+|x|}{2}$．
当x＜0时，有$\frac{x}{1-x}$＜1+0，∴x＜1-x，求得x＜$\frac{1}{2}$，综合可得x＜0．
当0≤x＜1时，有$\frac{x}{1-x}$＜1+x，即x²+x-1＜0，$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$＜x＜$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，综合可得，0≤x＜$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$．
当x＞1时，有$\frac{x}{x-1}$＜1+x，即x²-x-1＜0，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$＜x＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，综合可得，1＜x＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．
综上可得，x的范围为 （$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，1）∪（1，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$），
故选：D．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．