Question

4．求与点A（-2，2）、B（2，-2）距离都是1的直线l的方程．

Answer 1

分析 当直线l与直线AB平行时，设直线l：x+y+a=0，由点A（-2，2）到直线l的距离公式求出a，从而求出直线方程；当直线l与直线AB不平行，设直线l：kx-y=0，由点到直线距离公式求出k，从而求出直线方程．

解答 解：∵点A（-2，2）、B（2，-2），
∴直线AB：$\frac{y+2}{x-2}=\frac{2+2}{-2-2}$，即x+y=0．
∵点A（-2，2）、B（2，-2）到直线l的距离都是1，
∴①直线l与直线AB平行，∵k_l=-1，
∴设直线l：x+y+a=0
点A（-2，2）到直线l的距离为：$\frac{|-2+2+a|}{\sqrt{2}}$=1，解得a=±$\sqrt{2}$，
点B（2，-2）到直线l的距离为：$\frac{|2-2+a|}{\sqrt{2}}=1$，解得a=±2，
∴直线l的方程为x+y-$\sqrt{2}$=0或x+y+$\sqrt{2}$=0；
②直线l与直线AB不平行，则A、B在直线l两侧，
此时直线l过AB的中点，即原点O（0，0），设直线l：kx-y=0
∵点A（-2，2）、B（2，-2）到直线l：kx-y=0距离都是1，
∴$\frac{|-2k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，且$\frac{|2k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1
整理，得3k²+8k+3=0，解得k=$\frac{-4±\sqrt{7}}{3}$，
直线l的方程为y=$\frac{-4±\sqrt{7}}{3}x$．
综上，直线l的方程为：x+y-$\sqrt{2}$=0或x+y+$\sqrt{2}$=0或y=$\frac{-4±\sqrt{7}}{3}x$．

点评 本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式的合理运用．