Question

15．已知关于x的不等式丨x-1丨≤m-2的解集为$[\begin{array}{l}{0，2}\\{\;}\end{array}]$
（1）求实数m的值
（2）若a，b均为正实数，且满足a+b=m，求a²+b²的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据x的范围去掉绝对值符号解不等式，根据不等式的解集确定m的值；
（2）利用（1）的结论得a+b=3，使用基本不等式求出a²+b²的最值．

解答 解：（1）当x≥1时，不等式为x-1≤m-2，解得x≤m-1．当x＜1时，不等式为1-x≤m-2，解得x≥3-m．
∵不等式丨x-1丨≤m-2的解集为$[\begin{array}{l}{0，2}\\{\;}\end{array}]$，∴$\left\{\begin{array}{l}{m-1=2}\\{3-m=0}\end{array}\right.$，解得m=3．
（2）由（1）知a+b=3，∴a²+b²=9-2ab≥2ab，∴ab$≤\frac{9}{4}$．
∴当ab=$\frac{9}{4}$时，a²+b²取得最小值9-2×$\frac{9}{4}$=$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，属于基础题．