Question

10．已知函数f（x）=cos（2x-$\frac{π}{6}$）-$\sqrt{3}$cos2x．
（1）求函数f（x）的最小值，并求函数f（x）取得最小值时x值的集合；
（2）若f（$\frac{1}{2}$α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，且α∈（$\frac{π}{2}$，π），求sin（2α+$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由余弦函数加法定理求出f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），由此能求出函数f（x）的最小值，并求函数f（x）取得最小值时x值的集合．
（2）由已知得sinα=$\frac{3}{5}$，由此利用同角三角函数关系式和倍角公式求出sin2α，cos2α，由此能求出sin（2α+$\frac{π}{4}$）．

解答 解：（1）f（x）=cos（2x-$\frac{π}{6}$）-$\sqrt{3}$cos2x
=cos2xcos$\frac{π}{6}$+sin2xsin$\frac{π}{6}$-$\sqrt{3}cos2x$
=$\frac{1}{2}sin2x$-$\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x$
=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∴函数f（x）的最小值为1，
当函数f（x）取得最小值1时，2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z，
解得x=$\frac{11π}{12}$+kπ，k∈Z，
∴函数f（x）取得最小值时x值的集合为{x|x=$\frac{11π}{12}+kπ$，k∈Z}．
（2）∵f（$\frac{1}{2}$α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，且α∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴sinα=$\frac{3}{5}$，cosα=-$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=-$\frac{4}{5}$，
∴sin2α=2sinαcosα=2×$\frac{3}{5}×（-\frac{4}{5}）$=-$\frac{24}{25}$，
cos2α=1-2sin²α=1-2×$\frac{9}{25}$=$\frac{7}{25}$，
∴sin（2α+$\frac{π}{4}$）=sin2αcos$\frac{π}{4}$+cos2αsin$\frac{π}{4}$=-$\frac{24}{25}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{7}{25}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\frac{17\sqrt{2}}{25}$．

点评 本题考查三角函数值的最小值及对应的x的集合的求法，考查三角函数化简求值，是中档题，解题时要认真审题，注意同角三角函数关系式和倍角公式的合理运用．