Question

19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C构成公差小于0的等差数列，则sin²$\frac{A-C}{2}$的取值范围是$（0，\frac{3}{4}）$．

Answer 1

分析 A，B，C构成公差小于0的等差数列，可得2B=A+C=π-B，解得B=$\frac{π}{3}$．再利用倍角公式、三角函数的单调性即可得出．

解答 解：∵A，B，C构成公差小于0的等差数列，
∴2B=A+C=π-B，解得B=$\frac{π}{3}$．
∴A=$\frac{π}{3}$-α，B=$\frac{π}{3}$，C=$\frac{π}{3}$+α.$α∈（0，\frac{π}{3}）$．
∴2α∈$（0，\frac{2π}{3}）$．
cos2α∈$（-\frac{1}{2}，1）$．
∴sin²$\frac{A-C}{2}$=$\frac{1-cos（A-C）}{2}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos2α∈$（0，\frac{3}{4}）$．
故答案为：$（0，\frac{3}{4}）$．

点评 本题考查了等差数列、倍角公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．