Question

14．已知-$\frac{π}{2}$＜x＜0，求sinx+cosx+sinxcosx的范围．

Answer 1

分析 令sinx+cosx=t，则sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，则有y=t+$\frac{{t}^{2}-1}{2}$=$\frac{1}{2}$t²+t-$\frac{1}{2}$，由x范围，可得t的取值范围，从而可求函数y的最值．

解答 解：令sinx+cosx=t，则sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
∴y=t+$\frac{{t}^{2}-1}{2}$=$\frac{1}{2}$t²+t-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$（t+1）²-1；，
∵x∈（-$\frac{π}{2}$，0），
∴t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈（-1，1），
∴sinx+cosx+sinxcosx的范围为：（-1，1）．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．