Question

5．已知f（x）=ax²-（a+1）x+b．
（1）若f（x）≥0的解集为{x|-$\frac{1}{5}$≤x≤1}求实数a，b的值；
（2）当a＞0，b=1时，求关于x的不等式f（x）＜0的解集．

Answer 1

分析 （1）根据解集得出方程的根，利用根与系数的关系求解即可．
（2）利用条件得出（x）=ax²-（a+1）x+1=（ax-1）（x-1），求解根x=1，或x=$\frac{1}{a}$，分类判断大小，利用二次函数性质得出不等式的解集．

解答 解：（1）∵f（x）=ax²-（a+1）x+b．
f（x）≥0的解集为{x|-$\frac{1}{5}$≤x≤1}
∴$\frac{a+1}{a}$=$-\frac{1}{5}$+1=$\frac{4}{5}$，a=-5，
$\frac{b}{a}$=$-\frac{1}{5}$，b=1，
∴f（x）=-5x²+4x+1．
（2）a＞0，b=1
f（x）=ax²-（a+1）x+1=（ax-1）（x-1），
∴x=1，或x=$\frac{1}{a}$，
当a=1时，f（x）＜0的解集为∅；
当a＞1时，f（x）＜0的解集为（$\frac{1}{a}$，1）
当0＜a＜1时，f（x）＜0的解集为（1，$\frac{1}{a}$）

点评 本题简单的考查了二次函数的性质，二次方程，二次不等式的关系，属于简单的综合题目．