Question

6．已知函数f（x）=2cos（ωx+θ）（ω＞0，0≤θ≤$\frac{π}{2}$）的图象与y轴交于点（0，$\sqrt{3}$），且该函数的最小正周期为π．
（1）当x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{7π}{12}$]时，求函数f（x）的值域；
（2）若f（$\frac{1}{2}$α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{2}{3}$，f（-$\frac{7π}{12}-\frac{1}{2}β$）=$\frac{3}{2}$，α，β∈（π，$\frac{3π}{2}$），求sin（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的值域．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα和cosβ、cosα和sinβ的值，再利用两角和的正弦公式，求得sin（α+β）的值．

解答 解：（1）根据函数f（x）=2cos（ωx+θ）（ω＞0，0≤θ≤$\frac{π}{2}$）的最小正周期为π，
可得$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2．
再根据f（x）的图象与y轴交于点（0，$\sqrt{3}$），可得cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴θ=$\frac{π}{6}$，
故f（x）=2cos（2x+$\frac{π}{6}$）．
当x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{7π}{12}$]时，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，∴cos（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，$\frac{1}{2}$]．
故函数f（x）的值域为[-2，1]．
（2）若f（$\frac{1}{2}$α+$\frac{π}{6}$）=2cos（α+$\frac{π}{2}$）=-2sinα=$\frac{2}{3}$，∴sinα=-$\frac{1}{3}$．
又 f（-$\frac{7π}{12}-\frac{1}{2}β$）=2cos（-$\frac{7π}{6}$-β+$\frac{π}{6}$）=-2cosβ=$\frac{3}{2}$，∴cosβ=-$\frac{3}{4}$．
∵α，β∈（π，$\frac{3π}{2}$），∴cosα=-$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，sinβ=-$\sqrt{{1-cos}^{2}β}$=-$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
求sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=（-$\frac{1}{3}$）•（-$\frac{3}{4}$）+（-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$）•（-$\frac{\sqrt{7}}{4}$）=$\frac{3+2\sqrt{14}}{12}$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值．正弦函数的定义域和值域，同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，属于中档题．