Question

16．三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=4，BC=BA=2$\sqrt{2}$，BC⊥BA，P-ABC的各个顶点在一个球面上，则该球的表面积为$\frac{64π}{3}$．

Answer 1

分析 求出AC=4，取AC中点O，连结PO，BO，则PO⊥AC，BO⊥AC，求出BO=2，PO=2$\sqrt{3}$，从而PO⊥平面ABC，在PD上取点D，连结BD，使BD=PD，则D为球心，由此能求出该球的表面积．

解答 解：∵三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=4，BC=BA=2$\sqrt{2}$，BC⊥BA，
∴AC=$\sqrt{8+8}$=4，取AC中点O，连结PO，BO，则PO⊥AC，BO⊥AC，
BO=$\frac{1}{2}AC=2$，PO=$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{3}$，PO²+BO²=PB²，∴BO⊥BO，
∴PO⊥平面ABC，在PD上取点D，连结BD，使BD=PD，则D为球心，设球半径BD=PD=R，
∴R²=（2$\sqrt{3}$-R）²+2²，
解得R=$\frac{4}{\sqrt{3}}$，
∴该球的表面积为S=4πR²=4π×（$\frac{4}{\sqrt{3}}$）²=$\frac{64π}{3}$．
故答案为：$\frac{64π}{3}$．

点评 本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意四面体的结构特征和球的性质的合理运用．