Question

4．设向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，$\sqrt{3}$sinx），$\overrightarrow{b}$=（sinx，cosx），x∈[0，$\frac{π}{2}$]．
（Ⅰ）若|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|，求x的值；
（Ⅱ）设函数f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，将f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位得到函数g（x）的图象，求g（x）的最大值及此时相应的x值．

Answer 1

分析 （1）根据|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|列出方程解出x；（2）求出f（x）的解析式并化简，根据函数图象的变化规律得到g（x），结合正弦函数图象得出g（x）的最大值及x的值．

解答 解：（1）|$\overrightarrow{a}$|²=sin²x+3sin²x=4sin²x，|$\overrightarrow{b}$|²=sin²x+cos²x=1．
∵|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|，∴4sin²x=1，sin²x=$\frac{1}{4}$．
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴sinx=$\frac{1}{2}$，x=$\frac{π}{6}$．
（2）f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=sin²x+$\sqrt{3}$sinxcosx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x$+\frac{1}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$．
g（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$．
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]．
∴当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$即x=$\frac{π}{6}$时，g（x）取得最大值$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，三角函数的恒等变换，正弦函数的性质，属于中档题．