Question

12．求适合下列条件的曲线方程．
（1）焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M（3，2）的椭圆标准方程；
（2）顶点是双曲线16x²-9y²=144的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂直于坐标轴的抛物线的标准方程．

Answer 1

分析 （1）设椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），由焦距是4，且经过点M（3，2），利用椭圆性质能求出椭圆方程．
（2）由双曲线的顶点坐标为（-3，0），得抛物线的准线为x=-3，由此能求出抛物线的方程．

解答 解：（1）设椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
依题意可得：2c=4，即c=2，a²=b²+4，…．（2分）
由椭圆过点（3，2）得：$\frac{4}{{b}^{2}+4}$+$\frac{9}{{b}^{2}}$，解得：b²=12，a²=16，…..（4分）
故椭圆方程：$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$ …..（5分）
（2）双曲线的顶点坐标为（-3，0），故抛物线的准线为x=-3，…．（7分）
依题意设抛物线方程为：y²=2px，-$\frac{p}{2}=-3$，即p=6．…．（9分）
所以抛物线的方程为：y²=12x．…（10分）

点评 本题考查椭圆方程、抛物线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆、抛物线、双曲线的性质的合理运用．