Question

14．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=3a_n+2（n∈N^*）
（1）求证：数列{a_n+1}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n与前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=3a_n+2（n∈N^*），变形为a_n+1+1=3（a_n+1），即可证明；
（2）利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （1）证明：∵a₁=2，a_n+1=3a_n+2（n∈N^*），
∴a_n+1+1=3（a_n+1），
∴数列{a_n+1}是等比数列，首项为3，公比为3．
（2）解：由（1）可得：a_n+1=3ⁿ，解得a_n=3ⁿ-1．
S_n=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-n=$\frac{{3}^{n+1}}{2}$-$\frac{3}{2}$-n．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．