Question

1．矩形ABCD中，AB=2$\sqrt{3}$，AD=2，点E、F分别为线段BC、CD边上的动点，且满足EF=1，则$\overrightarrow{AE}$$•\overrightarrow{AF}$的最小值是（　　）

• A． 12
• B． 16
• C． 20
• D． 24

Answer 1

分析 如图所示，设E（2$\sqrt{3}$，a），F（b，2），由EF=1，利用两点之间的距离公式可得（a-2）²+（b-2$\sqrt{3}$）²=1，利用数量积运算可得$\overrightarrow{AE}$$•\overrightarrow{AF}$=2$\sqrt{3}$b+2a，令a+$\sqrt{3}$b=t与圆的方程联立可得4b²-2$\sqrt{3}$tb+t²-4t+15=0．当直线a+$\sqrt{3}$b=t与圆有公共点时，△≥0，解出即可得出．

解答 解：如图所示，
设E（2$\sqrt{3}$，a），F（b，2）．
∵EF=1，
∴（a-2）²+（b-2$\sqrt{3}$）²=1．
∵$\overrightarrow{AE}$=（2$\sqrt{3}$，a），$\overrightarrow{AF}$=（b，2）
∴$\overrightarrow{AE}$$•\overrightarrow{AF}$=2$\sqrt{3}$b+2a，
令2a+2$\sqrt{3}$b=t，
联立$\left\{\begin{array}{l}{a+\sqrt{3}b=t}\\{（a-2）^{2}+（b-2\sqrt{3}）^{2}=1}\end{array}\right.$，
化为4b²-2$\sqrt{3}$tb+t²-4t+15=0．
当直线a+$\sqrt{3}$b=t与圆有公共点时，△=12t²-16（t²-4t+15）≥0，
解得t²-10t+60≤0，
解得6≤t≤10．
∴12≤$\overrightarrow{AE}$$•\overrightarrow{AF}$≤20，
∴$\overrightarrow{AE}$$•\overrightarrow{AF}$的最小值为12．
故选：A．

点评 本题考查了两点之间的距离公式、向量的数量积运算、直线与圆的位置关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．