Question

13．设P，A，B，C是体积为288π的球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，若PA=3，PB=4，则PC=$\sqrt{119}$．

Answer 1

分析 先求出四面体P-ABC的外接球半径R=6，由已知得四面体P-ABC的外接球是以PA、PB、PC为棱的长方体的外接球，由此能求出PC．

解答 解：∵设P，A，B，C是体积为288π的球O表面上的四个点，
∴设四面体P-ABC的外接球半径为R，则$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=288π，解得R=6，
∵PA，PB，PC两两垂直，∴四面体P-ABC的外接球是以PA、PB、PC为棱的长方体的外接球，
∵PA=3，PB=4，设PC=x，
∴$\frac{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}+{x}^{2}}}{2}$=6，
解得x=$\sqrt{119}$．
∴PC=$\sqrt{119}$．
故答案为：$\sqrt{119}$．

点评 本题考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．