Question

8．在△ABC中，AB=3，AC=2，O为△ABC的内心，且$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，x+2y=1，则cosA=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 利用三角形内心的性质，使用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{AO}$，求出根据x+2y=1列方程求出BC，然后解三角形求出cosA．

解答 解：设BC=a，∵O为△ABC的内心，∴a$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，∴a$\overrightarrow{OA}$+2（$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}$）+3（$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}$）=$\overrightarrow{0}$．
∴（a+5）$\overrightarrow{OA}$=-2$\overrightarrow{AB}$-3$\overrightarrow{AC}$，∴$\overrightarrow{AO}$=$\frac{2}{a+5}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{a+5}$$\overrightarrow{AC}$．
∴x=$\frac{2}{a+5}$，y=$\frac{3}{a+5}$，∵x+2y=1，∴$\frac{8}{a+5}$=1，解得a=3．
∴△ABC是底为2，腰为3的等腰三角形，过B作出底边上的高BD，则AD=1，∴cosA=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了三角形内心的性质，向量的线性运算，解三角形等知识．属于中档题．