Question

18．己知当且仅当a∈（m，n）时，$\frac{2-ax+{x}^{2}}{1-x+{x}^{2}}$＜3对x∈R恒成立，则m+n=6．

Answer 1

分析 由 x²-x+1＞0可得2x²+（a-3）x+1＞0恒成立，故有△=（a-3）²-8＜0，求得a的范围．再结合已知条件，求得m、n的值，可得m+n的值．

解答 解：∵x²-x+1=${（x-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$＞0，∴$\frac{2-ax+{x}^{2}}{1-x+{x}^{2}}$＜3对x∈R恒成立，
即2x²+（a-3）x+1＞0恒成立，∴△=（a-3）²-8＜0，
求得3-2$\sqrt{2}$＜a＜3+2$\sqrt{2}$，即a∈（3-2$\sqrt{2}$，3+2$\sqrt{2}$）．
再根据a∈（3-2$\sqrt{2}$，3+2$\sqrt{2}$），可得m=3-2$\sqrt{2}$，n=3+2$\sqrt{2}$，∴m+n=6，
故答案为：6．

点评 本题主要考查分式不等式的解法，函数的恒成立问题，二次函数的性质，属于中档题．