Question

9．已知f（x）=e^ax（$\frac{a}{x}$+a+1），（a≥-1）
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若存在x₁＞0，x₂＜0，使f（x₁）＜f（x₂），求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x），令f′（x）=0，根据a的范围讨论f（x）的极值点和单调区间．
（2）对a的范围进行讨论，只需令f（x）在（-∞，0）上的最大值大于（0，+∞）上的最小值即可．

解答 解：（1）f（x）的定义域为{x|x≠0}．
f′（x）=ae^ax（$\frac{a}{x}$+a+1）-e^ax•$\frac{a}{{x}^{2}}$=e^ax•$\frac{a[（a+1）{x}^{2}+ax-1]}{{x}^{2}}$
①若a=0，则f（x）=1，∴f（x）无单调区间．
②若a≠0，令f′（x）=0得（a+1）x²+ax-1=0，
（i）若a=-1，则-x-1=0，x=-1，
当x＜-1时，f′（x）＜0，当-1＜x＜0或x＞0时，f′（x）＞0，
∴f（x）的增区间是（-1，0），（0，+∞），f（x）的减区间是（-∞，-1）．
若a≠-1，令f′（x）=0，解得x=-1或x=$\frac{1}{a+1}$．
（ii）若-1＜a＜0，当x＜-1或x＞$\frac{1}{a+1}$时，f′（x）＜0，当-1＜x＜0，或0$＜x＜\frac{1}{a+1}$时，f′（x）＞0．
∴f（x）的增区间是（-1，0），（0，$\frac{1}{a+1}$），f（x）的减区间是（-∞，-1），（$\frac{1}{a+1}$，+∞）．
（iii）若a＞0，当x＜-1或x＞$\frac{1}{a+1}$时，f′（x）＞0，当-1＜x＜0，或0$＜x＜\frac{1}{a+1}$时，f′（x）＜0．
∴f（x）的减区间是（-1，0），（0，$\frac{1}{a+1}$），f（x）的增区间是（-∞，-1），（$\frac{1}{a+1}$，+∞）．
（2）①当a=0时，f（x）=1，显然不符合题意；
②当a=-1时，f（x）=-$\frac{1}{x{e}^{x}}$，∴当x＞0时，f（x）＜0，当x＜0时，f（x）＞0，显然符合题意；
③当-1＜a＜0时，f（x）在（-∞，-1）上单调递减，在（-1，0）上单调递增，在（0，$\frac{1}{a+1}$）上单调递增，在（$\frac{1}{a+1}$，+∞）上单调递减，
f（-1）=e^-a＞0，而x→0₊时，f（x）→-∞，故必存在x₁＞0，x₂＜0，使f（x₁）＜f（x₂）；
④当a＞0时，f（x）在（-∞，-1）上单调递增，在（-1，0）上单调递减，在（0，$\frac{1}{a+1}$）上单调递减，在（$\frac{1}{a+1}$，+∞）上单调递增．
∴当x＜0时，f（x）≤f（-1）=e^-a，当x＞0时，f（x）≥f（$\frac{1}{a+1}$）=e${\;}^{\frac{a}{a+1}}$（a+1）²．
∵存在x₁＞0，x₂＜0，使f（x₁）＜f（x₂）．∴e^-a＞e${\;}^{\frac{a}{a+1}}$（a+1）²．
∵a＞0，∴e^-a＜1，$\frac{a}{a+1}$＞0，（a+1）²＞1，∴e${\;}^{\frac{a}{a+1}}$（a+1）²＞e${\;}^{\frac{a}{a+1}}$＞1，∴e^-a＞e${\;}^{\frac{a}{a+1}}$（a+1）²无解．
综上，a的取值范围是[-1，0）．

点评 本题考查了导数与函数的单调性的关系，函数极值的应用，分类较多，属于难题．