Question

20．设$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$是两个单位向量，且向量$\overrightarrow{a}$=3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{b}$=x$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$．
（1）若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，且$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=0，求实数x的值；
（2）若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=x=1，求向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$与$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夹角θ的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$便有$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，从而得到$（3\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}）•（x\overrightarrow{{e}_{1}}+3\overrightarrow{{e}_{2}}）=0$，进行数量积的运算便可得到关于x的方程，从而求出实数x的值；
（2）可知$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{{e}_{1}}+3\overrightarrow{{e}_{2}}$，从而有$（3\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}）•（\overrightarrow{{e}_{1}}+3\overrightarrow{{e}_{2}}）=1$进行数量积的运算便可得到3+6+11cosθ=1，这便可得出cosθ的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，又$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$为单位向量，$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}=0$；
∴$（3\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}）•（x\overrightarrow{{e}_{1}}+3\overrightarrow{{e}_{2}}）$=$3x{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+（9+2x）\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}+6{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$=3x+6=0；
∴x=-2；
（2）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=x=1$；
∴$（3\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}）•（\overrightarrow{{e}_{1}}+3\overrightarrow{{e}_{2}}）$=3+6+11cosθ=1；
∴$cosθ=-\frac{8}{11}$；
即向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$与$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夹角θ的余弦值为$-\frac{8}{11}$．

点评 考查单位向量的概念，向量垂直的充要条件，以及数量积的运算及其计算公式．