Question

13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
（Ⅰ）若b²+c²=a²+bc，求角A的大小；
（Ⅱ）若acosA=bcosB，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用余弦定理可得cosA=$\frac{1}{2}$，又结合∠A是△ABC的内角，即可求A的值．
（Ⅱ）由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB，可得sin2A=sin2B．利用正弦函数的图象和性质可得2A=2B或2A+2B=π，即可得解．

解答 解：（Ⅰ）∵由已知得cosA=$\frac{b2+c2-a2}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，…（3分）
又∵∠A是△ABC的内角，
∴A=$\frac{π}{3}$．…（5分）
（Ⅱ）在△ABC中，由acosA=bcosB，得sinAcosA=sinBcosB，…（6分）
∴sin2A=sin2B．…（7分）
∴2A=2B或2A+2B=π．…（9分）
∴A=B或$A+B=\frac{π}{2}$
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．…（10分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，正弦函数的图象和性质，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．