Question

已知E，F，G，H分别是空间四边形四条边AB，BC，CD，DA的中点，
（1）求证四边形EFGH是平行四边形
（2）若AC⊥BD时，求证：EFGH为矩形；
（3）若AC、BD成30°角，AC=6，BD=4，求四边形EFGH的面积；
（4）若AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，求AC与BD间的距离．

Answer 1

解：（1）∵E，F是边AB，BC的中点，∴EF∥AC，EF=AC，同理GH∥AC，GH=AC，∴四边形EFGH是平行四边形
（2）∵AC∥EF，BD∥FG，若AC⊥BD，则EF⊥FG，结合（1）可知EFGH为矩形．
（3）∵AC∥EF，BD∥FG，∴EF与FG所成的角即为AC、BD所成的角，∴∠EFG（或其补角）=30°，S _EFGH =EF×FG×sin∠EFG=AC×BD×sin30°=3
（4）设M，N分别为BD，AC中点，连接MA，MC，MN．则AM⊥BD，CM⊥BD，∴BD⊥面AMC，BD⊆MN，易知AM=CM=，∴MN⊥AC，∴MN是BD，AC的公垂线段，MN的长即为所求距离．
在直角三角形AMN中，MN==．
分析：（1）根据三角形中位线定理易证EF∥AC，EF=AC，同理GH∥AC，GH=AC，所以四边形EFGH是平行四边形
（2）AC⊥BD等价于EF⊥FG，结合（1）可知EFGH为矩形．
（3）由于AC∥EF，BD∥FG，所以得出EF与FG所成的角即为AC、BD所成的角，EFGH中有一内角为30°，利用平行四边形面积公式S=absinθ计算即可．
（4）设M，N分别为BD，AC中点，可以证明MN是BD，AC的公垂线段，在直角三角形AMN中求出MN即可．
点评：本题考查空间直线和直线，直线和平面的位置关系的判定，异面直线的夹角和距离求解，考查了空间想象能力、计算能力，分析解决问题能力．空间问题平面化是解决空间几何体问题最主要的思想方法．