Question

4．已知P是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上的一点，F₁，F₂是椭圆的左，右焦点，P到两准线的距离分别为10和8，且∠F₁PF₂=60°，求此椭圆的方程．

Answer 1

分析 利用P到两准线的距离分别为10和8，可得$\frac{2{a}^{2}}{c}$=18，|PF₁|=$\frac{8c}{a}$，|PF₂|=$\frac{10c}{a}$，结合余弦定理，求出a，c，可得b，即可求此椭圆的方程．

解答 解：∵P到两准线的距离分别为10和8，
∴$\frac{2{a}^{2}}{c}$=18，|PF₁|=$\frac{8c}{a}$，|PF₂|=$\frac{10c}{a}$，
∵∠F₁PF₂=60°
∴4c²=（$\frac{8c}{a}$）²+（$\frac{10c}{a}$）²-2×$\frac{8c}{a}$×$\frac{10c}{a}$×$\frac{1}{2}$，
∴a²=21，
∴c=$\frac{7}{3}$，
∴b²=$\frac{140}{9}$，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{21}+\frac{{y}^{2}}{\frac{140}{9}}$=1．

点评 本题考查求椭圆的方程，考查椭圆的性质，余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．．