Question

8．设点P是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$与圆x²+y²=a²+b²的一个交点，F₁，F₂分别是双曲线的左、右焦点，且|$\overrightarrow{P{F_1}}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{P{F_2}}$|，则双曲线的离心率为$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 设点P是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$与圆x²+y²=a²+b²在第一象限的交点，可得点P到原点的距离，∠F₁PF₂=90°，再根据|$\overrightarrow{P{F_1}}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{P{F_2}}$|，借助于双曲线的定义，利用勾股定理，可求得结论．

解答 解：设点P是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$与圆x²+y²=a²+b²在第一象限的交点
∴点P到原点的距离|PO|=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=c，∠F₁PF₂=90°，
∵|$\overrightarrow{P{F_1}}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{P{F_2}}$|，
∴|PF₁|-|PF₂|=（$\sqrt{3}$-1）|PF₂|=2a，
∴|PF₁|=（$\sqrt{3}$+3）a，|PF₂|=（$\sqrt{3}$+1）a，
∴[（$\sqrt{3}$+3）a]²+[（$\sqrt{3}$+1）a]²=4c²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$+1．
故答案为：$\sqrt{3}$+1．

点评 本题重点考查圆与双曲线的性质，确定|PF₁|=（$\sqrt{3}$+3）a，|PF₂|=（$\sqrt{3}$+1）a，是解题的关键．