Question

已知直线l的参数方程为

x= 1 2 t y=1+ 3 2 t

（t为参数）．曲线C的极坐标方程为ρ=2

2

sin(θ+

π

4

)．直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点 P．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）求

1

|PA|

+

1

|PB|

的值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）由曲线C的极坐标方程ρ=2

2

sin(θ+

π

4

)，展开为ρ2=2

2

×

2

2

(ρsinθ+ρcosθ)，把

x=ρcosθ y=ρsinθ

代入即可得出；
（2）设直线与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P，把直线的参数方程

x= 1 2 t y=1+ 3 2 t

(t为参数)，代入曲线C的普通方程（x-1）²+（y-1）²=2中，得t²-t-1=0，得到根与系数的关系，利用直线参数的意义即可得出．

解答： 解：（1）由曲线C的极坐标方程ρ=2

2

sin(θ+

π

4

)，展开为ρ2=2

2

×

2

2

(ρsinθ+ρcosθ)，ρ²=2ρsinθ+2ρcosθ，
∴普通方程是x²+y²=2y+2x，
即（x-1）²+（y-1）²=2．
（2）设直线与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P，
把直线的参数方程

x= 1 2 t y=1+ 3 2 t

(t为参数)，代入曲线C的普通方程（x-1）²+（y-1）²=2中，
得t²-t-1=0，
∴

t1+t2=1 t1•t2=-1

，
∴

1

|PA|

+

1

|PB|

=

1

|t1|

+

1

|t2|

=

|t1-t2|

|t1•t2|

=

(t1+t2)2-4t1t2

=

5

．

点评：本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、直线与曲线的交点、直线参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．