Question

四边形ABCD与A′ABB′都是边长为a的正方形，点E是A′A的中点，AA′⊥平面ABCD．
（1）求证：A′C∥平面BDE；
（2）求证：平面A′AC⊥平面BDE；
（3）求三棱锥A-BDE的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）设BD交AC于M，连结ME，证明ME∥A′C，即可证明A′C∥平面BDE；
（2）证明BD⊥平面A′AC，即可证明平面A′AC⊥平面BDE；
（3）利用等体积转换，即可求三棱锥A-BDE的体积．

解答： （1）证明：设BD交AC于M，连结ME．
∵ABCD为正方形，所以M为AC中点，
又∵E为A′A的中点，
∴ME为△A′AC的中位线
∴ME∥A′C
又∵ME?平面BDE，A′C?平面BDE
∴A′C∥平面BDE．…..（4分）  
（2）证明：∵ABCD为正方形，∴BD⊥AC
∵A′A⊥平面ABCE，BD⊥平面ABCD，
∴A′A⊥BD．
又AC∩A′A=A，
∵AC?面A′AC，AA′?面A′AC，∴BD⊥平面A′AC
∵BD?平面BDE
∴平面A′AC⊥平面BDE．…．（8分）
（3）解：V=VA-BDE=VE-ABD=

a3

12

…（12分）

点评：本题考查线面平行、垂直的判定，考查面面垂直，考查锥体体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．