Question

16．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增，若实数a满足$f（{2^{a-1}}）＞f（-\sqrt{2}）$，则a的取值范围是（1，$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行等价转化，解不等式即可．

解答 解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增，
∴f（x）在区间（0，+∞）上单调递减，
则不等式足$f（{2^{a-1}}）＞f（-\sqrt{2}）$等价为足$f（{2^{a-1}}）＞f（-\sqrt{2}）$=f（$\sqrt{2}$），
则2^a-1＜$\sqrt{2}$=2${\;}^{\frac{1}{2}}$，
则0＜a-1＜$\frac{1}{2}$，
则1＜a＜$\frac{3}{2}$，
故答案为：（1，$\frac{3}{2}$）

点评 本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行等价转化是解决本题的关键．