Question

6．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点分别为F₁、F₂，以线段F₁F₂为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，若|MF₁|-|MF₂|=2b，该双曲线的离心率为e，则e²=（　　）

• A． 2
• B． $\frac{\sqrt{2}+1}{2}$
• C． $\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

Answer 1

分析 联立圆与渐近线方程，求得M的坐标，利用两点之间的距离公式，化简即可求得双曲线的离心率．

解答 解：由题意可知：以线段F₁F₂为直径的圆的方程x²+y²=c²，
双曲线经过第一象限的渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，
联立方程$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}={c}^{2}}\\{y=\frac{b}{a}x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=b}\end{array}\right.$，
则M（a，b），
由|MF₁|-|MF₂|=2b，即$\sqrt{（a+c）^{2}+{b}^{2}}$-$\sqrt{（a-c）^{2}+{b}^{2}}$=2b，
由b²=a²-c²，e=$\frac{c}{a}$，
化简整理得：e⁴-e²-1=0，
由求根公式可知e²=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$，由e＞1，
则e²=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
故选D．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．