Question

16．正三棱柱ABC-A₁B₁C₁底面△ABC的边长为3，此三棱柱的外接球的半径为$\sqrt{7}$，则异面直线AB₁与BC₁所成角的余弦值为$\frac{23}{50}$．

Answer 1

分析 先根据题意画出图形，再设三棱柱外接球的球半径为r，利用在直角三角形ADO中的边的关系求出正三棱本的高，作出空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB₁与BC₁所成角的余弦值．

解答 解：设三棱柱外接球的球心为O，球半径为r，
三棱柱的底面三角形ABC的中心为D，如图，
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁底面△ABC的边长为3，此三棱柱的外接球的半径为$\sqrt{7}$，
∴OA=$\sqrt{7}$，AD=$\frac{2}{3}×\sqrt{{3}^{2}-（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴OD=$\sqrt{7-3}$=2，∴AA₁=4，
以A为原点，以过A在平面ABC中作AC的垂线为x轴，以AC为y轴，AA₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
A（0，0，0），B（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，0），
B₁（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，4），C₁（0，3，4），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，4），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，4），
设异面直线AB₁与BC₁所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{B{C}_{1}}|}{|\overrightarrow{A{B}_{1}}|•|\overrightarrow{B{C}_{1}}|}$=$\frac{\frac{23}{2}}{25}$=$\frac{23}{50}$．
∴异面直线AB₁与BC₁所成角的余弦值为$\frac{23}{50}$．
故答案为：$\frac{23}{50}$．

点评 本题考查三棱锥、球、空间中线线、线面间的相互关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．