Question

选修4-1：几何证明选讲
如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，直线OB交⊙O于点E，D，连接EC，CD．

（I）试判断直线AB与⊙O的位置关系，并加以证明；
（II）若tanE=，⊙O的半径为3，求OA的长．

Answer 1

解：（I）证明：如图，连接OC．
∵OA=OB，CA=CB，OC=OC，
∴△AOC≌△BOC，
∴∠OCA=∠OCB=90°，
∴OC⊥AB．
∴AB是圆O的切线；（3分）
（II）由ED为圆O的直径，得到∠ECD=90°，
在直角三角形中，
根据三角函数定义得：tanE==．
∵∠B=∠B，∠BCD=∠E，
∴△BCD∽△BEC，
∴==．
设BD=x，则BC=2x．（6分）又BC²=BD•BE，
∴（2x）²=x（x+6）．（8分）
解得x₁=0，x₂=2．
由BD=x＞0，∴BD=2．
∴OA=OB=BD+OD=2+3=5．（12分）
分析：（I）连接OC，由已知的OA与OB相等，CA与CB相等，OC为公共边，得到三角形AOC与三角形BOC全等，进而得到∠OAC与∠OCB相等，都为90°，即OC与AB垂直，故AB与圆O相切；
（II） 在直角三角形ACD中，根据直径所对的圆周角等于90°，得到三角形ECD为直角三角形，根据三角函数定义表示出tanE，即可得到CD与EC的比值，根据∠B为公共角，圆的弦切角等于所夹弧所对的圆周角，得到一对角相等，根据两对角相等的两三角形相似，由相似得出比例式，且相似比等于所求的比，设出BD=x，BC=2x，又根据相似得比例表示出BC的平方，把设出的BD和BC代入即可列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为BD的长，由OA=OB=OD+DB即可求出OA的长．
点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及相似三角形的判定与性质．其中证明切线的方法有两种：1、有点连接此点与圆心，证明夹角为直角；2、无点作垂线，证明垂线段等于圆的半径．要求学生掌握圆的一些性质，利用方程的思想解决数学问题．