Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为

1

2

．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．

Answer 1

（Ⅰ）由已知2a=4，

c

a

=

1

2

．解得a=2，c=1，所以b²=a²-c²=3，
故椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…（5分）
（Ⅱ）由M，N不与椭圆的顶点重合，设直线l的方程为y=kx-2，代入椭圆方程可得（4k²+3）x²-16kx+4=0，
由△=（-16k）²-16（4k²+3）=12k²-3＞0，得k＜-

1

2

或k＞

1

2

              …（8分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=

16k

4k2+3

，x₁x₂=

4

4k2+3

，y₁y₂=

-28k2

4k2+3

+4
由（Ⅰ）得椭圆C的右顶点A（2，0），
因为以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，
所以k_AMk_AN=-1，
∴

y1

x1-2

•

y2

x2-2

=-1，
∴y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，
∴

-28k2

4k2+3

+4+

4

4k2+3

-

32k

4k2+3

+4=0，
∴k²-8k+7=0，解得k=7或k=1
当k=1时，l：y=x-2，直线过椭圆C的右顶点A（2，0），舍去；
当k=7时，l：y=7x-2．
综上可知，直线l的方程是y=7x-2      …（14分）