Question

20．已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（0＜ω＜$\frac{π}{2}$）的图象向右平移a（a＞0）个单位长度后得到的图象关于点（a+1，0）对称f（x）在[-$\frac{φ}{ω}$，1]上是单调函数，且f（x）的图象关于点（4，0）对称，求f（x）的表达式．

Answer 1

分析 由条件利用函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，余弦函数的单调性，得到ω+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z①，ω+φ≤π ②，4ω+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z③，由①②③求得ω和φ的值，可得f（x）的表达式．

解答 解：函数f（x）=cos（ωx+φ）（0＜ω＜$\frac{π}{2}$）的图象向右平移a（a＞0）个单位长度后得到的图象对应的函数的解析式为y=cos[ω（x-a）+φ）=cos（ωx-ωa+φ），
再根据所得图象关于点（a+1，0）对称，可得ω（a+1）-ωa+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即ω+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z①．
由f（x）在[-$\frac{φ}{ω}$，1]上是单调函数，可得1+$\frac{φ}{ω}$≤$\frac{π}{ω}$，即ω+φ≤π ②．
∵f（x）的图象关于点（4，0）对称，∴4ω+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z ③．
结合①②可得ω+φ=$\frac{π}{2}$．
再结合③可得ω=$\frac{π}{3}$，φ=$\frac{π}{6}$，∴f（x）=cos（$\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{6}$）．

点评 本题主要考查函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，余弦函数的单调性，属于中档题．