Question

5．函数f（x）=ax³+bx²+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（　　）

• A． a＞0，b＞0，c＞0，d＞0
• B． a＞0，b＞0，c＜0，d＞0
• C． a＞0，b＜0，c＜0，d＞0
• D． a＞0，b＜0，c＞0，d＞0

Answer 1

分析 根据函数的图象和性质，先判断d＞0，a＞0，根据二次函数的性质判断b，c的符号即可．

解答 解：f（0）=d＞0，
当x→+∞时，y→+∞，
由f（x）在（-∞，x₁）递增，在（x₁，x₂）递减，在（x₂，+∞）递增，
∴函数的导数f′（x）=3ax²+2bx+c在（-∞，x₁）大于0，
在（x₁，x₂）小于0，在（x₂，+∞）大于0，
∴a＞0，
函数的导数f′（x）=3ax²+2bx+c，
则f′（x）=0有两个相异的实根，
由图象得：|x₂|＞|x₁|，
则x₁+x₂=-$\frac{2b}{3a}$＞0且x₁x₂=$\frac{c}{3a}$＜0，（a＞0），
∴b＜0，c＜0，
方法2：f′（x）=3ax²+2bx+c，
由图象知当当x＜x₁时函数递增，当x₁＜x＜x₂时函数递减，则f′（x）对应的图象开口向上，
则a＞0，且x₁+x₂=-$\frac{2b}{3a}$＞0且x₁x₂=$\frac{c}{3a}$＜0，（a＞0），
∴b＜0，c＜0，
故选：C．

点评 本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合函数的极值及f（0）的符号是解决本题的关键．