Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知：PA=2，AB=2，BC=2

2

．
（1）求证：CD⊥PD；
（2）求异面直线AE与BC所成的角的大小．

Answer 1

分析：（1）证明CD⊥平面PAD，可得CD⊥PD；
（2）取PB的中点F，连接AF、EF，△PBC中，利用中位线定理，得到EF∥BC，从而∠AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角，然后可以通过计算证明出：△AEF是以F为直角顶点的等腰直角三角形，所以∠AEF=45°．

解答：（1）证明：因为PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，所以PA⊥CD．
又 AD⊥CD，PA∩AD=A，所以CD⊥平面PAD，
因为PD?平面PAD，所以CD⊥PD．
（2）解：如图，取PB中点F，连结EF、AF，则EF∥BC，从而∠AEF（或其补角）是异面直线BC与AE所成的角．
在△AEF中，由EF=

2

，AF=

1

2

PB=

2

，
连结AC，因为PC=4，在Rt△PAC中，AE=

1

2

PC=2，所以EF²+AF²=AE²，
所以△AEF是等腰直角三角形，所以∠AEF=45°．
因此，异面直线AE与BC所成的角的大小是45°．

点评：本题考查异面直线及其所成的角和直线与平面垂直的性质等知识，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题．