Question

设等差数列的首项为1，公差d（），m为数列中的项．

（1）若d=3，试判断的展开式中是否含有常数项？并说明理由；

（2）证明：存在无穷多个d，使得对每一个m，的展开式中均不含常数项．

Answer 1

（1）解：因为是首项为1，公差为3的等差数列，所以．

             假设的展开式中的第r+1项为常数项（），

             ，于是.

    设，则有，即，这与矛盾.

         所以假设不成立，即的展开式中不含常数项.

（2）证明：由题设知a_n=，设m=，

      由（1）知，要使对于一切m，的展开式中均不含常数项，

      必须有：对于，满足=0的r无自然数解，

      即.

      当d=3k时，.

故存在无穷多个d，满足对每一个m，的展开式中均不含常数项．