Question

已知数列{a_n}的首项a₁＝2，且对任意n∈N^*，都有a_n＋1＝ba_n＋c，其中b，c是常数．

⑴若数列{a_n}是等差数列，且c＝2，求数列{a_n}的通项公式；

⑵若数列{a_n}是等比数列，且|b|＜1，当从数列{a_n}中任意取出相邻的三项，按某种顺序排列成等差数列，求使数列{a_n}的前n项和S_n＜成立的n的取值集合．

Answer 1

解： (1) 当c＝2时，由已知得a₁＝2，a₂＝ba₁＋2＝2b＋2，a₃＝ba₂＋2＝2b²＋2b＋2，

因为{a_n}是等差数列，所以a₁，a₂，a₃成等差数列，所以a₁＋a₃＝2a₂，

即2＋(2b²＋2b＋2)＝2(2b＋2)，所以b²－b＝0，解得b＝0，或b＝1.(2分)

当b＝0时，a_n＝2，对n∈N^*，a_n＋1－a_n＝0成立，所以数列{a_n}是等差数列，

当b＝1时，a_n＋1＝a_n＋2，对n∈N^*，a_n＋1－a_n＝2成立，所以数列{a_n}是等差数列；

所以数列{a_n}的通项公式分别为a_n＝2或a_n＝2n.(4分)

(2) 因为{a_n}是等比数列，所以a₁，a₂，a₃成等比数列，所以a₁a₃＝a，

即2[b(2b＋c)＋c]＝(2b＋c)²，化简得2bc＋c²＝2c，所以c＝0或2b＋c＝2.

当2b＋c＝2时，a₂＝ba₁＋c＝2b＋c＝2，所以a_n＝2，不满足S_n＜.

当c＝0时，若b＝0，则与a₁＝2矛盾，所以b≠0，因此a_n＝2b^n－1.(8分)

则a_n＋1＝2bⁿ，a_n＋2＝2b^n＋1，因为a_n，a_n＋1，a_n＋2按某种顺序排列成等差数列，

所以有1＋b＝2b²，或1＋b²＝2b，或b＋b²＝2，

解之得b＝1或b＝－或b＝－2.(12分)

又因为|b|＜1，所以b＝－，所以S_n＝＝，

由S_n＜，得＜，即ⁿ＞，

因为n是正整数，所以n的取值集合为{2,4,6,8}．(16分)