Question

5．已知函数f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R）的极值点为-1和1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间与极值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求导，根据f'（-1）=0，f'（1）=0，得到关于a，b的方程组，解得即可；
（Ⅱ）根据导数和函数单调性和极值的关系即可求出．

解答 解：（I）f'（x）=3x²+2ax+b，
由已知得f'（-1）=0，f'（1）=0，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{3-2a+b=0}\\{3+2a+b=0}\end{array}}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=-3}\end{array}}\right.$．
经检验a=0，b=-3符合题意，∴f（x）=x³-3x． 
（II）由（I）得f'（x）=3x²-3
由f'（x）＞0，得 x＞1或x＜-1，
由f'（x）＜0，得-1＜x＜1，
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞），
函数f（x）的单调递减区间为  （-1，1），
∴极大值为f（-1）=2，
极小值为f（1）=-2．

点评 本题主要考查导数的性质基础知识．考查运算化简能力、推理论证能力和方程思想以及化归思想，属于中档题．