Question

如图，椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，点A（4，m）在椭圆E上，且，点D（2，0）到直线F₁A的距离．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设点P位椭圆E上的任意一点，求的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根据题意可得c的值和F₁、F₂的坐标，又因为可表示出AF₂、AF₁，再由sin∠AF₁F₂=可得到a，b的关系式，最后根据a²=b²+c²可求出a，b的值，确定椭圆方程．
（2）先设点p的坐标，根据其在椭圆上可得到其横纵坐标的关系（用x表示y），然后表示出向量后进行数量积运算得到关于x的二次函数，再由x的取值范围可确定的取值范围．
解答：解：（1）由题意知，c=4，F₁（-4，0），F₂（4，0），
∵sin∠AF₁F₂=，DH=，DF₁=6，
又∵=0，
∴AF₂=，AF₁=2a-，
∴，则，
由a²=b²+c²，得
∴b²=48，a²=64∴椭圆方程为．

（2）设点P（x，y），则，即
∵，
∴==
∵-8≤x≤8，∴的取值范围是[36，72]．
点评：本题主要考查椭圆的基本性质和向量的数量积运算．属基础题．