Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n+2S_n•S_n-1=0（n≥2，且n∈N），a₁=

1

2

．
（1）求证：{

1

Sn

}是等差数列；
（2）若b_n=S_n•S_n+1，求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，由于满足a_n+2S_n•S_n-1=0（n≥2，且n∈N），可得S_n-S_n-1+2S_nS_n-1=0，两边同除以S_nS_n-1，化为

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，即可证明；
（2）由（1）可得

1

Sn

=2+2（n-1）=2n，Sn=

1

2n

．可得b_n=S_n•S_n+1=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)．利用“裂项求和”即可得出．

解答： （1）证明：当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，
∵满足a_n+2S_n•S_n-1=0（n≥2，且n∈N），
∴S_n-S_n-1+2S_nS_n-1=0，
化为

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，

1

S1

=

1

a1

=2，
∴{

1

Sn

}是等差数列．
（2）解：由（1）可得

1

Sn

=2+2（n-1）=2n，
∴Sn=

1

2n

．
∴b_n=S_n•S_n+1=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)．
∴数列{b_n}的前n项和为T_n=

1

4

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=

1

4

(1-

1

n+1

)
=

n

4(n+1)

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法、递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．