Question

已知角α为锐角．
（1）若sinα=

3

5

，求sin(α-

π

4

)的值；
（2）若cos(α+β)=

5

13

，sin(α-β)=-

5

13

，其中0＜α+β＜π，-

π

2

＜α-β＜

π

2

，求sin2β的值．

Answer 1

分析：（1）由α为锐角，根据sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，所求式子利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，将各自的值代入计算即可求出值；
（2）根据cos（α+β）与sin（α-β）的值，以及α+β与α-β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α+β）与cos（α-β）的值，所求式子中的角2β变形为（α+β）-（α-β），利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．

解答：解：（1）∵α为锐角，sinα=

3

5

，
∴cosα=

1-sin2α

=

4

5

，
则sin（α-

π

4

）=

2

2

（sinα-cosα）=-

2

10

；
（2）∵cos（α+β）=

5

13

，sin（α-β）=-

5

13

，0＜α+β＜π，-

π

2

＜α-β＜

π

2

，
∴sin（α+β）=

12

13

，cos（α-β）=

12

13

，
则sin2β=sin[（α+β）-（α-β）]=sin（α+β）cos（α-β）-cos（α+β）sin（α-β）=

12

13

×

12

13

+

5

13

×

5

13

=1．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．