Question

已知二次函数f（x）=x²-ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立，则实数a=________；又设数列{a_n}的前n项和S_n=f（n），（n∈N^*），则所有满足c_i•c_i+1＜0的正整数i的个数为________．

Answer 1

4    3
分析：由不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素，知△=a²-4a=0，解得a=0或a=4．再结合题设条件能够求出a的值．结合题设条件由数列的性质知 ，由题设可得（n∈N^*）=，由此入手能够求出所有满足c_i•c_i+1＜0的正整数i的个数．
解答：∵不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素
∴△=a²-4a=0，
解得a=0或a=4．
当a=0时函数f（x）=x²在（0，+∞）递增，不满足条件②
当a=4时函数f（x）=x²-4x+4在（0，2）上递减，满足条件②
综上得a=4．
由a=4知S_n=n²-4n+4=（n-2）²．
当n=1时，a₁=S₁=1，
当n≥2时a_n=S_n-S_n-1=（n-2）²-（n-3）²=2n-5，
∴
由题设可得（n∈N^*）=，
∵c₁=-3＜0，c₂=1+4=5＞0，c₃=1-=-3＜0，
∴i=1，i=2都满足c_i•c_i+1＜0
∵当n≥3时，
=＞0，
即当n≥3时，数列{c_n}递增，
∵＜0，由 ?n≥5，
可知i=4满足c_i•c_i+1＜0
∴所有满足c_i•c_i+1＜0的正整数i的个数为3．
故答案为：4，3．
点评：本题考查数列与函数的综合，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，易出错．解题时要认真审题，注意数列递推思想的灵活运用．