Question

【题目】已知函数（x＞2），若恒成立，则整数k的最大值为（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

由题得h（x）=＞k即h（x）的最小值大于k，h′（x）=，记g（x）

=x﹣3﹣ln（x-1），（x＞2），通过g(x)找到函数h(x)的单调性和最小值即得解.

f（x）＞恒成立，即h（x）=＞k即h（x）的最小值大于k．

而h′（x）=，记g（x）=x﹣3﹣ln（x-1），（x＞2），

则g′（x）=＞0，∴g（x）在（2，+∞）上单调递增，

又g（4）=1﹣ln3＜0，g（5）=2﹣2ln2＞0，

∴g（x）=0存在唯一实根a，且满足a∈（4，5），a-3=ln（a-1），

当x＞a时，g（x）＞0，h′（x）＞0，

当2＜x＜a时，g（x）＜0，h′（x）＜0，

∴h（x）min=h（a）==a-1∈（3，4），

故正整数k的最大值是3．

故答案为：B