Question

15．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{10}x+1，x≤1}\\{lnx-1，x＞1}\end{array}\right.$，则方程f（x）=ax（a＞0）恰有两个不同实数根时，求a的取值范围是[$\frac{1}{10}$，$\frac{1}{{e}^{2}}$）．

Answer 1

分析 如图所示，当x＞1时，f（x）=lnx-1，f′（x）=$\frac{1}{x}$，令直线y=ax与曲线f（x）相切于点P（x₀，lnx₀-1），则a=$\frac{ln{x}_{0}-1}{{x}_{0}}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$，解得x₀=e²，可得切线斜率：$\frac{1}{{e}^{2}}$＞$\frac{1}{10}$．当a=$\frac{1}{10}$时，直线y=$\frac{1}{10}$x与f（x）=$\frac{1}{10}x$+1平行，无交点，直线y=$\frac{1}{10}$x与曲线f（x）=lnx-1有两个不同交点．同理对当$0＜a＜\frac{1}{10}$时，当$\frac{1}{10}$≤a$＜\frac{1}{{e}^{2}}$时，即可得出结论．

解答 解：如图所示，
当x＞1时，f（x）=lnx-1，
f′（x）=$\frac{1}{x}$，令直线y=ax与曲线f（x）相切于点P（x₀，lnx₀-1），则a=$\frac{ln{x}_{0}-1}{{x}_{0}}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
解得x₀=e²，可得切线斜率：$\frac{1}{{e}^{2}}$＞$\frac{1}{10}$．
当a=$\frac{1}{10}$时，直线y=$\frac{1}{10}$x与f（x）=$\frac{1}{10}x$+1平行，无交点，直线y=$\frac{1}{10}$x与曲线f（x）=lnx-1有两个不同交点．
当$0＜a＜\frac{1}{10}$时，直线y=ax与曲线f（x）=lnx-1有两个不同交点，与直线y=ax有一个交点，共有3个交点，舍去．
当$\frac{1}{10}$≤a$＜\frac{1}{{e}^{2}}$时，直线y=ax与曲线f（x）=lnx-1有两个不同交点，与直线y=ax没有交点．
综上可得：当$\frac{1}{10}$≤a$＜\frac{1}{{e}^{2}}$时，方程f（x）=ax（a＞0）恰有两个不同实数根．
故答案为：[$\frac{1}{10}$，$\frac{1}{{e}^{2}}$）．

点评 本题考查了方程解的个数转化为函数图象交点的个数、利用导数研究函数的切线单调性、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．