Question

7．已知一曲线C是与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离比为$\frac{1}{2}$的点的轨迹．
（1）求曲线C的方程，并指出曲线类型；
（2）过（-2，2）的直线l与曲线C相交于M，N，且|MN|=2$\sqrt{3}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设M（x，y）是曲线上任意的一点，点M在曲线上的条件是$\frac{{|{MO}|}}{{|{MA}|}}=\frac{1}{2}$，由两点间距离公式，转化求解轨迹方程即可．
（2）当直线l斜率不存在时，$|{MN}|=2\sqrt{3}$，求出x．当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y-2=k（x+2），即kx-y+2k+2=0，求出圆心到此直线的距离为$d，d=\sqrt{{2^2}-3}=1$，求出k，即可得到所求的直线l的方程．

解答 解：（1）设M（x，y）是曲线上任意的一点，点M在曲线上的条件是$\frac{{|{MO}|}}{{|{MA}|}}=\frac{1}{2}$．-------（2分）
由两点间距离公式，上式用坐标表示为$\sqrt{{x^2}+{y^2}}=\frac{1}{2}\sqrt{{{（x-3）}^2}+{y^2}}$，
整理得：x²+y²+2x-3=0，（x+1）²+y²=4--------（5分）
曲线C是以（-1，0）为圆心，以2为半径的圆．------（6分）
（2）当直线l斜率不存在时，$|{MN}|=2\sqrt{3}$，∴x=-2-----（8分）
当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y-2=k（x+2），即kx-y+2k+2=0，
设圆心到此直线的距离为$d，d=\sqrt{{2^2}-3}=1$，∴$1=\frac{{|{-k+2k+2}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}，k=-\frac{3}{4}$，
所以直线l的方程：$y-2=-\frac{3}{4}（x+2），即3x+4y-2=0$，
直线l的方程：∴x=-2或3x+4y-2=0．-------（12分）

点评 本题考查轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．