Question

19．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，如图E、F分别是BB₁，CD的中点，
（1）求证：D₁F⊥AE；
（2）求直线EF与CB₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）依题意分别求得A，E，D₁和F的坐标，求出$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{{D}_{1}F}$，二者相乘等于0即可证明出AE⊥D₁F进而根据线面垂直的性质证明出D₁F⊥AD，最后根据线面垂直的判定定理证明出D₁F⊥平面ADE．
（2）分别求得$\overrightarrow{EF}$=（2，1，1），$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（1，0，1），利用向量的夹角公式求得异面直线所成角的余弦值．

解答 （1）证明：依题意知D（0，0，0），A（2，0，0），F（0，1，0），E（2，2，1），A₁（2，0，2），D₁（0，0，2），
$\overrightarrow{AE}$=（0，0，1），$\overrightarrow{{D}_{1}F}$=（0，1，-2），
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{{D}_{1}F}$=0，
∴AE⊥D₁F；
∵AD⊥平面CDD₁C₁，D₁F?平面CDD₁C₁，
∴D₁F⊥AD，
∵AE?平面ADE，AD?平面ADE，AE∩AD=A，
∴D₁F⊥平面ADE．
（2）解：依题意可知B₁（1，1，1），C（0，1，0），F（0，1，0），E（2，2，1），
∴$\overrightarrow{EF}$=（2，1，1），$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（1，0，1），
∴cos＜$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{C{B}_{1}}$＞=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴异面直线EF和CB₁所成的角余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查了线面垂直和空间向量的应用．考查了学生综合分析和运算能力．