Question

9．已知函数f（x）=$\frac{{2}^{x}+b}{{2}^{x}+a}$（a、b为常数），且f（1）=$\frac{1}{3}$，f（0）=0．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）判断函数f（x）在定义域上的奇偶性，并证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知中f（1）=$\frac{1}{3}$，f（0）=0．构造方程组，可得a，b值，进而得到函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）函数f（x）为奇函数．利用奇偶性可证得结论．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得f（1）=$\frac{2+b}{2+a}$=$\frac{1}{3}$，f（0）=$\frac{1+b}{1+a}$=0，…．（3分）
解得a=1，b=-1，
所以f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$；…（5分）
（Ⅱ） 函数f（x）为奇函数．
证明如下：f（x）的定义域为R，…．（6分）
∵f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{{1-2}^{x}}{{2}^{x}+1}$=-f（x），…．（9分）
∴函数f（x）为奇函数；…（10分）

点评 本题考查的知识点是函数解析式的求法，函数的奇偶性，难度中档．