Question

4．在△ABC中，已知$sin（A+\frac{π}{6}）=2cosA$．
（1）求tanA；
（2）若$B∈（0，\frac{π}{3}）$，且$sin（A-B）=\frac{3}{5}$，求sinB．

Answer 1

分析 （1）利用特殊角的三角函数值及两角和的正弦函数公式化简可得sinA=$\sqrt{3}$cosA，结合范围A∈（0，π），且cosA≠0，即可求得tanA的值．
（2）由（1）及范围$B∈（0，\frac{π}{3}）$，可求$A-B=\frac{π}{3}-B∈（0，\frac{π}{3}）$，利用已知及同角三角函数基本关系式可求cos（A-B）的值，进而利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．

解答 解：（1）因为 $sin（A+\frac{π}{6}）=2cosA$，得$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinA+\frac{1}{2}cosA=2cosA$，
即sinA=$\sqrt{3}$cosA，
因为A∈（0，π），且cosA≠0，
所以$tanA=\sqrt{3}$，
（2）由（1）知$A=\frac{π}{3}$，
因为$B∈（0，\frac{π}{3}）$，
所以$A-B=\frac{π}{3}-B∈（0，\frac{π}{3}）$
因为sin²（A-B）+cos²（A-B）=1，$sin（A-B）=\frac{3}{5}$，
所以：cos（A-B）=$\frac{4}{5}$，
所以$sinB={sin^{\;}}[A-（A-B）]=sinAcos（A-B）-cosAsin（A-B）=\frac{{4\sqrt{3}-3}}{10}$．

点评 本题主要考查了特殊角的三角函数值，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．