Question

12．给出以下四个结论：
①函数$f（x）=\frac{2x-1}{x+1}$的对称中心是（-1，2）；
②若关于x的方程$x-\frac{1}{x}+k=0在x∈（{0，1}）$没有实数根，则k的取值范围是k≥2；
③在△ABC中，“bcosA=acosB”是“△ABC为等边三角形”的充分不必要条件；
④若$f（x）=sin（{2x-\frac{π}{3}}）$的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后为奇函数，则φ最小值是$\frac{π}{12}$．
其中正确的结论是①．

Answer 1

分析 根据函数图象平移变换法则，可判断①；判断x∈（0，1）时，x$-\frac{1}{x}$的范围，可判断②；根据充要条件的定义，可判断③；根据正弦型函数的对称性和奇偶性，可判断④．

解答 解：①函数$f（x）=\frac{2x-1}{x+1}$=$\frac{-3}{x+1}$+2，其图象由反比例函数y=$\frac{-3}{x}$的图象向左平移两单位，再向上平移2个单位得到，故图象的对称中心是（-1，2），故①正确；
②x∈（0，1）时，x$-\frac{1}{x}$∈（-∞，0），若关于x的方程$x-\frac{1}{x}+k=0在x∈（{0，1}）$没有实数根，则k的取值范围是k≥0，故②错误；
③在△ABC中，“bcosA=acosB”?“sinBcosA=sinAcosB”?“sin（A-B）=0”?“A=B”⇒“△ABC为等腰三角形”，“bcosA=acosB”是“△ABC为等边三角形”的必要不充分条件，故③错误；
④若$f（x）=sin（{2x-\frac{π}{3}}）$的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后为奇函数，-2φ-$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，
当k=-1时，φ最小值是$\frac{π}{3}$，故④错误；
故答案为：①

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的对称性，方程的根，函数的值域，充要条件，正弦型函数的图象和性质，难度中档．