Question

2．在平面直角坐标系xoy中，己知定点F（l，0），点P在y轴上运动，点M在x轴上，点N 为平面内的动点，且满足可$\overline{PM}•\overline{PF}=0，\overline{PM}+\overline{PN}=0$．求动点N的轨迹C的方程．

Answer 1

分析 设点N（x，y），M（a，0），P（0，b），由已知条件推导出点M（-x，0），P（0，$\frac{y}{2}$）．由此能求出动点N的轨迹C的方程．

解答 解：设点N（x，y），M（a，0），P（0，b）．
∵$\overrightarrow{PM}$+$\overrightarrow{PN}$=$\overrightarrow{0}$可知，∴点P是MN的中点，
∴a=-x，b=$\frac{y}{2}$，
∴点M（-x，0），P（0，$\frac{y}{2}$）．
∴$\overrightarrow{PM}$=（-x，-$\frac{y}{2}$），$\overrightarrow{PF}$=（1，-$\frac{y}{2}$），
∵$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{0}$，∴-x+$\frac{{y}^{2}}{4}$=0，即y²=4x．
∴动点N的轨迹C的方程为y²=4x

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，考查向量知识的运用，属于中档题．