Question

10．已知函数$f（x）=\sqrt{3}sin（{ωx+ω}）-cos（{ωx+ω}）（{-\frac{π}{2}＜φ＜0，ω＞0}）$为偶函数，且函数的y=f（x）图象相邻的两条对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$．
（1）求$f（{\frac{π}{24}}）$的值；
（2）将y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位后，再将所得的图象上个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求y=g（x）的单调区间，并求其在$[{-\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}}]$上的最值．

Answer 1

分析 （1）通过两角差的正弦函数化简函数的表达式，求出函数的周期，利用函数是偶函数求出φ，然后求解$f（{\frac{π}{24}}）$的值．
（2）由函数图象的变换可求g（x）=-2cos（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{3}$），利用余弦函数的单调性可求y=g（x）的单调区间，由x∈$[{-\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}}]$，结合函数的单调性可求最大值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ-$\frac{π}{6}$），…1分
因为函数是偶函数，
所以φ-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：φ=kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
∵-$\frac{π}{2}$＜φ＜0，
∴φ=-$\frac{π}{3}$．
函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$，
所以T=π，T=$\frac{2π}{ω}$=π，所以ω=2；
f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{2}$）=-2cos2x，…5分
则f（$\frac{π}{24}$）=-2cos（2×$\frac{π}{24}$）=-2cos（$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，…6分
（2）由函数图象的变换可知，y=g（x）=-2cos（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{3}$），…8分
由2kπ≤$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+π，k∈Z，解得：4kπ+$\frac{2π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{8π}{3}$，k∈Z，
即函数y=g（x）的单调递增区间为：[4kπ+$\frac{2π}{3}$，4kπ+$\frac{8π}{3}$]k∈Z，
由2kπ+π≤$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+2π，k∈Z，解得：4kπ+$\frac{8π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{14π}{3}$，k∈Z，
即函数y=g（x）的单调递减区间为：[4kπ+$\frac{8π}{3}$，4kπ+$\frac{14π}{3}$]k∈Z，…10分
∵x∈$[{-\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}}]$，
∴结合函数的单调性可知：
当$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{3}$=0，即x=$\frac{2π}{3}$时，y=g（x）最小值为-2…11分
当$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{2}$，即x=-$\frac{π}{3}$时，y=g（x）最大值为0…12分

点评 本题主要考查了两角差的正弦函数公式，周期公式，三角函数图象的变换规律，余弦函数的单调性，考查了数形结合思想和转化思想的应用，属于中档题．