Question

2．如图，在棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，底面ABCD是菱形，平面PCD⊥平面ABCD，M是PB的中点，且∠BCD=120°．
（Ⅰ）求证：PA⊥CD；
（Ⅱ）求直线PD与平面CDM所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出三角形CDA为等边三角形，取CD的中点O，连接AC，AO，PO，则AO⊥CD，PO⊥CD，从而CD⊥平面AOP，由此能证明CD⊥PA．
（Ⅱ）以O为原点，直线OD，OA，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，利用向量法能求出直线PD与平面CDM所成角大小的正弦值．

解答 （本题满分12分）
证明：（Ⅰ）因为底面ABCD是菱形，且∠BCD=120°，
所以∠CDA=60°，
所以三角形CDA为等边三角形．
取CD的中点O，连接AC，AO，PO，
则AO⊥CD，PO⊥CD，AO∩PO=O，
∴CD⊥平面AOP，∴CD⊥PA．…（4分）
解：（Ⅱ）平面PCD⊥平面ABCD，OP⊥OA，∴OP⊥平面ABCD，
以O为原点，直线OD，OA，OP分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示，
则$P（0，0，\sqrt{3}），D（1，0，0），C（-1，0，0），B（-2，\sqrt{3}，0）$，$M（-1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，
$\overrightarrow{PD}=（1，0-\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{CD}=（2，0，0）$，$\overrightarrow{CM}=（0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$…（6分）
设$\overrightarrow n=（x，y，z）$为平面CDM的法向量，则
$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{CD}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{CM}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}2x=0\\ \frac{{\sqrt{3}}}{2}y+\frac{{\sqrt{3}}}{2}z=0\end{array}\right.$，令y=1，则z=-1，∴$\overrightarrow n=（0，1，-1）$…（8分）
∴$cos＜\overrightarrow{PD}，\overrightarrow n＞=\frac{{\overrightarrow{PD}•\overrightarrow n}}{{|{\overrightarrow{PD}}||{\overrightarrow n}|}}=\frac{{\sqrt{3}}}{{2\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{4}$…（10分）
∴直线PD与平面CDM所成角大小的正弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$…（12分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．